$L$-convex-concave sets in real projective space and $L$-duality

В статье рассматривается следующий проективный аналог выпуклости. Множество $X\subset\mathbb RP^n$ называется $L$-выпукло-вогнутым для фиксированного $l$-мерного подпространства $L$, если, во-первых, $X\cap L=\emptyset$, во-вторых, сечение множества $X$ всяким пространством $L'$, $L'\subset L$, размерности $(l+1)$ выпукло, в-третьих, множество $X\subset L'$ вогнуто зависит от $L'$. В статье определяется $L$-двойственное множество $XL^\perp$, являющееся $L^*$-выпукло-вогнутым множеством в двойственном проективном пространстве. Согласно гипотезе Арнольда множество $X$ содержит внутри себя подпространство размерности $(n-l-1)$. Мы показываем, что из справедливости гипотезы Арнольда для множества $X$ вытекает ее справедливость для множества $XL^\perp$. Эта теорема – составная часть нашего доказательства гипотезы Арнольда для $L$-выпукло-вогнутых множеств в $\mathbb RP^3$.