Defining equations for bifurcations and singularities

Теория особенностей и теория бифуркаций приводят к рассмотрению алгебраических многообразий в пространствах струйных расширений отображений. Явно определить уравнения для этих многообразий сложно и иногда трудно и с вычислительной точки зрения. В настоящей статье рассматриваются два примера: седлоузловая бифуркация периодических орбит и стратификация Тома–Боардмана в теории особенностей. Седлоузловые бифуркации периодических орбит определяются их матрицами монодромий. Бифуркация появляется, когда разность между матрицей монодромии и единичной матрицей имеет двумерное нильпотентное подпространство. Мы обсуждаем численные методы определения этой нильпотентности. Стандартное определение стратификации Тома–Боардмана некоторого отображения включает в себя вычисление ранга отображения, ограниченного на подмногообразия. Без явных формул для этих подмногообразий определение ранга есть сложная вычислительная задача. Мы иначе формулируем определяющие уравнения для подмногообразий стратификации, вводя минимальные множества регулярных определяющих уравнений для каждого страта.