Variational principles for Lie–Poisson and Hamilton–Poincaré equations

Хорошо известно, что существует вариационный принцип для уравнений Эйлера–Пуанкаре полученных на алгебре Ли $\mathfrak g$ группы Ли $G$ методом редукции принципа Гамильтона относительно действия группы $G$ на себе самой, к примеру, левым умножением. Целью статьи является определение вариационного принципа для уравнений Ли–Пуассона на $\mathfrak g^*$ – дуальном пространстве к алгебре Ли $\mathfrak g$, а также обобщение этой конструкции.
В более общем случае исходное конфигурационное пространство не является группой Ли, а представляет собой конфигурационное многообразие $Q$, на котором группа Ли $G$ действует свободно и собственно, так что $Q\to Q/G$ становится главным расслоением. Лагранжева система, заданная на $TQ$ и инвариантная относительно присоединенного действия группы $G$, может быть редуцирована путем соответствующего переопределения к системе на $(TQ)/G$, описываемой уравнениями Лагранжа–Пуанкаре. Аналогично, гамильтонова система на $T^*Q$, инвариантная относительно коприсоединенного действия группы $G$, может быть приведена к системе на $(T^*Q)/G$, описываемой уравнениями Гамильтона–Пуанкаре.
Новые результаты, представленные в статье, включают получение вариационной структуры, соответствующей уравнениям Гамильтона–Пуанкаре, явное выражение для пуассоновой структуры на приведенных пространствах, упрощающее формулы Монтгомери, а также новое представление для симплектической структуры на ассоциированных симплектических листах. Полученные результаты проиллюстрированы на простом, но интересном примере системы твердого тела с внутренними роторами.