Оптимальное управление инвестициями в актив со случайной доходностью при транзакционных издержках

В работе рассматривается задача оптимального управления инвестициями в некоторый актив со стоимостью, изменяющейся как геометрическое броуновское движение, при фиксированных и пропорциональных транзакционных издержках. Показывается, что постановка задачи напрямую обобщается на многомерный случай путем независимого решения одномерной максимизационной задачи для каждого актива. Указывается общий вид получающегося оптимального управления и предоставляется конструктивный механизм его поиска путем решения системы квази-вариационных неравенств. Задача импульсного оптимального управления сводится к решению системы из шести нелинейных уравнений. Из этой системы получаются выводы о том, что четыре параметра управления сводятся к двум при нулевых фиксированных издержках, и сводятся к трем при нулевых пропорциональных издержках. Проводится численный эксперимент, в котором определяется зависимость решения задачи от всех параметров. Также находится интегральное представление функции выигрыша через функцию Грина, упрощающее в некоторых случаях поиск решения нелинейной системы. Для случая, когда реакция на управление происходит с некоторым фиксированным запаздыванием, доказывается свойство оптимального управления, сводящее потенциально бесконечномерное фазовое пространство задачи к одномерному, что позволяет существенно упростить задачу и найти ее решение аналогично случаю без запаздывания.