Априорные оценки и асимптотическое поведение решений полулинейных интегродифференциальных параболических уравнений на плоскости

Установлена априорная оценка нормы $\|u(t,\cdot)\|_{L_2([0,l])}$ для обобщенных решений первой краевой задачи для полулинейных интегродифференциальных параболических уравнений с двумя независимыми переменными. Доказательство оценки основано на вспомогательном утверждении типа леммы Гронуолла, которое представляет и самостоятельный интерес. Полученная оценка является не зависящей от времени, и мы используем ее для исследования асимптотического при больших временах поведения решений рассматриваемой задачи. Приведен пример, показывающий, что предположения, при которых доказана априорная оценка, являются необходимыми и не могут быть ослаблены.