Выбор шага по кривизне для жестких задач Коши

Предложен новый метод автоматического выбора шага для численного интегрирования задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод основан на использовании геометрических характеристик (кривизны и наклона) интегральной кривой.
Построены формулы кривизны интегральной кривой при различных выборах многомерного пространства. В двумерном случае они переходят в известные формулы, однако их общий многомерный вид нетривиален. Эти формулы имеют несложный вид, удобны для практического применения и представляют самостоятельный интерес для дифференциальной геометрии многомерных пространств.
Для построенных этим методом сеток разработан способ дробления шагов, позволяющий применить метод Ричардсона и находить апостериорную асимптотически точную оценку погрешности полученного решения (для традиционных алгоритмов автоматического выбора шага не найдено таких оценок). Поэтому предложенные методы существенно превосходят по надежности и достоверности результатов расчетов ранее известные алгоритмы. В существующих автоматах выбора шага наблюдаются резкие уменьшения величины шага на 2-4 порядка без видимых причин. Это ухудшает надежность алгоритмов. Объяснена причина этого явления.
Предлагаемые методы особенно эффективны на задачах высокой жесткости, что проиллюстрировано примерами расчетов.