Об одной трудности построения двумерных регулярных сеток с помощью отображений

Для исследования известной проблемы построения регулярной сетки методом Уинслоу в прямоугольной области с изломом границы (обратной ступеньке) развит высокоточный метод расчета обратного гармонического отображения единичного квадрата на эту область при некотором заданном соответствии границ. Изучено поведение изолинии отображения, входящей в точку излома границы. Вблизи точки излома найдена зависимость угла между границей и прямой, соединяющей точку на изолинии с точкой излома границы, от координаты точки на изолинии в единичном квадрате. Показано, что в точке излома границы линия уровня касается границы. Отображение в окрестности этой точки не является квазиизометрическим. Регулярная сетка, построенная по точкам пересечения изолиний с помощью прямых линий, содержит самопересекающуюся ячейку, которая не исчезает при уменьшении шага сетки вдоль границы области. На основе универсальных эллиптических уравнений, воспроизводящих любое невырожденное отображение параметрического прямоугольника на заданную область, предложено простое двухпараметрическое управление узлами сетки в “обратной ступеньке”', позволяющее эффективно управлять углом наклона входящей в точку излома сеточной линии, устраняя тем самым выход сеточных линий за границу области. В случае сеток с небольшим числом узлов $31\times 31$ невырожденная сетка строится путем подходящего выбора одного параметра. При увеличении числа узлов сетки в $8$ раз по обоим направлениям (сетка $241\times 241$) внутри области появляются невыпуклые ячейки, которые легко устраняются применением вариационного барьерного метода. Другой возможностью избежать появления невыпуклых ячеек является уменьшение размерности сетки по второму направлению (сетка $241\times 121$).