Приложение метода повторного усреднения дифференциальных уравнений в теории фильтрации сжимаемых вязких жидкостей в сжимаемых трещиновато-пористых средах. Часть I: Микроскопическое описание

С использованием методов теории усреднения получены строгие модели фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах. Базовой математической моделью на микроскопическом уровне являются стационарные уравнения Стокса для сжимаемой вязкой жидкости, заполняющей пустоты в твердом грунте (жидкая область), и стационарные уравнения Ламэ для упругого скелета грунта, дополненные соответствующими краевыми условиями на общей границе “твердый скелет–жидкая область”. Предполагается, что жидкая область есть объединение двух независимых систем трещин и пор и безразмерный размер $\delta$ пор зависит от безразмерного размера $\varepsilon$ трещин: $\delta=\varepsilon^r$ с $r>1$. В предположении периодичности твердого скелета на основе метода трехмасштабной сходимости, предложенного Дж. Аллэйром и М. Брайаном, предлагается строгий вывод усредненных уравнений при стремлении малого параметра к нулю. При различных комбинациях физических параметров задачи это будет либо система уравнений Био–Терцаги для упругого скелета грунта и жидкости в трещинах, либо анизотропные уравнения Ламэ для “смеси” твердого скелета грунта и жидкости в трещинах и порах. При достаточно естественных ограничениях на физические параметры задачи доказывается корректность полученных начально-краевых задач. Следствием этих результатов является вывод уравнений фильтрации сжимаемой жидкости в абсолютно твердой трещиновато-пористой среде. Это будет обычная система уравнений Дарси. Настоящая публикация является первой частью указанного исследования, в которой рассмотрена микроскопическая модель и получены все необходимые априрные оценки.