Задача на собственные значения для оператора Навье–Стокса в цилиндрических координатах

В настоящей работе предлагается быстрый, точный и достаточно универсальный численный алгоритм, пригодный для параметрических исследований устойчивости течений несжимаемой жидкости в трубах. Новый алгоритм (или его фрагменты) может иметь более широкую применимость, включая ситуации, когда вычислительная область содержит координатную сингулярность вдоль полярной оси $r=0$ и когда зависимость от азимутального угла может быть описана рядами Фурье вследствие физической симметрии задачи. Построенный алгоритм обеспечивает эффективное решение задачи на собственные значения для линеаризованного оператора Навье–Стокса в цилиндрических координатах. Алгоритм основан на новой замене зависимых переменных, которая позволяет обойти трудности, связанные с координатными особенностями, путем учета специального поведения аналитических функций в окрестности точки $r=0$. Несмотря на наличие координатных сингулярностей, новый алгоритм обеспечивает спектральную точность. Численное решение линейной задачи гидродинамической устойчивости подразумевает пространственную дискретизацию оператора Навье–Стокса, его линеаризацию на стационарном решении и сведение к стандартной задаче на собственные значения вида $\lambda x=Tx$. Собственные значения $\lambda$ могут быть вычислены затем при помощи QR-алгоритма. В работе предлагается оригинальный метод приведения задачи на собственные значения к стандартному виду, использующий технику матриц влияния, экономичный и слабо чувствительный к ошибкам округления.