Индивидуальная случайная последовательность и генераторы случайных чисел

В работе приводится конструктивный аксиоматический подход для исследования свойств индивиуальной случайности, в отличие от массовых свойств, изучаемых в классической теории вероятностей, основанной на теории меры. В частности, даётся аксиоматическое определение индивидуальной случайной последовательности. Моделью (конструктивным объектом данной аксиоматики) является последовательность Мёбиуса (без нулевых значений). Проверяемость аксиоматики в конечных пределах основывается на “логарифмическом постулате”, который обобщает идею, заложенную в определении “конечной случайной” последовательности по Колмогорову ($Q1$). Сложность проверки аксиоматики равна $O(N^{1+\varepsilon}$), где $N$ – длина реализации. Предлагаемая аксиоматика является развитием идеи Г. Пойа, который заметил интересную связь аналитической теории чисел (гипотеза Римана) со статистикой и теорией вероятностей (случайное поведение последовательности значений функции Лиувилля или Мёбиуса). На основе данной аксиоматики построены два новых генератора случайных чисел, которые могут применяться в практике моделирования случайных процессов. Мёбиусовский генератор даёт потенциально бесконечную последовательность случайных чисел, равномерно распределённых на полуинтервале $[0,1)$ с гарантированно большими обычными и спектральными флуктуациями. Лежандровский генератор, хотя и псевдослучайный, имеет гарантированно малые автокорреляции (2-го порядка) и большие спектральные флуктуации. В качестве инструментов исследования используются известные результаты теории чисел (ряды Дирихле, теория $\zeta$-функции и др.), а также свойства циркулянтов, которые иллюстрируют глубокую связь алгебры, анализа и теории чисел. В частности, на основе свойств циркулянтов доказано неравенство, являющееся индивидуальным аналогом неравенства Чебышева, дано элементарное доказательство $\Omega$-теоремы для функции Мертенса и слабого индивидуального аналога закона возвратности Пойа, а также получено некоторое продвижение в гипотезе Римана о нулях $\zeta$-функции.