Преобразование Кэлли и решение начальной задачи для дифференциального уравнения первого порядка с неограниченным операторным коэффициентом в гильбертовом пространстве

Рассмотрена задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка с неограниченным операторным коэффициентом $A$ в гильбертовом пространстве. Приведено определение $\sigma$-решения для которого с помощью преобразования Кэлли получена явная формула (оператор $A$ самосопряженный и положительно определенный). На основе этой формулы предложен численный алгоритм для нахождения приближенного решения исходной задачи и дана оценка погрешности, из которой следует, что в отличие от случая ограниченного оператора $A$, скорость сходимости является полиномиальной, а не экспоненциальной, и зависит от гладкости начальных данных. Доказано, что построенная аппроксимация – наилучшее приближение в некотором подпространстве гильбертова пространства. В качестве примера рассмотрено однородное уравнение теплопроводности.