Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенных уравнений, вырождающихся на границе. Случай резко изменяющихся коэффициентов в окрестности пограничного слоя

На прямоугольнике $G$, $G=(0,d_1]\times(0,d_2]$, рассматривается задача Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения параболического типа $\{\varepsilon\partial_1^2-b(x_1)\partial/\partial x_2\}u(x)=f(x)$, где $b(x_1)=\min[(\sigma^{-1}x_1)^\alpha,1]$, вырождающегося при $x_1=0$ в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка; переменная $x_2$ является временной переменной, параметры $\varepsilon$ и $\sigma$ принимают произвольные значения из интервалов $(0,1]$ и $[0,d_1/2]$, $\alpha\in(0,M]$, $M>1$. При $\varepsilon=0$ предельное уравнение – уравнение первого порядка – вырождается (исчезает) на границе области при $x_1=0$. Строится разностная схема (на сетках, сгущающихся в пограничных и переходном слоях), сходящаяся равномерно относительно параметров $\varepsilon$ и $\sigma$. Рассматриваются также сеточные аппроксимации краевых задач для эллиптического уравнения $\{\varepsilon\Delta-b(x_1)\partial/\partial x_2\}u(x)=f(x)$. Задачи исследуемого типа возникают, например, при моделировании диффузионных процессов, протекающих в подвижных средах.