Значение Шепли ТП игр, разности $c$-ядер выпуклых игр и точка Штейнера выпуклых компактов

Известно, что любая кооперативная игра с трансферабельными полезностями $v$ представима в виде разности двух выпуклых кооперативных игр $v_1$ и $v_2$. Рассмотрены два определения разности выпуклых компактных множеств в приложении к $c$-ядрам игр $v_1$ и $v_2$. Доказано, с использованием супердифференциала Пено, что первая из этих разностей $c$-ядер дает $c$-ядро игры $v$ (этот результат получен ранее другим способом Даниловым и Кошевым). Определено решение $Q$ игры $v$ как разность точек Штейнера $c$-ядер игр $v_1$ и $v_2$. Доказано, что оно совпадает со значением Шепли игры $v$. Это приводит, в частности, к геометрической интерпретации значения Шепли выпуклой игры как взвешенной суммы вершин $c$-ядра с весами, равными внешним углам $c$-ядра в соответствующих вершинах. Доказано, что внешние углы $c$-ядра выпуклой игры пропорциональны числу векторов маргинальных выигрышей игроков, определяющих данную вершину. Вторая рассматриваемая разность $c$-ядер игр $v_1$ и $v_2$ приводит к множеству Вебера игры $v$. Показано, что первая разность всегда содержится во второй и, как следствие, получено еще одно доказательство теоремы Вебера о том, что $c$-ядро произвольной игры $v$ лежит во множестве Вебера.