О построении самодополнительных кодов и их приложении в задаче сокрытия информации

Линейные коды широко применяются для защиты от ошибок в системах передачи и хранения данных, обеспечения стойкости различных криптографических алгоритмов и протоколов, для защиты скрытой информации от ошибок в стегоконтейнере. Одним из классов кодов, находящих применение в ряде перечисленных областей, является класс линейных самодополнительных кодов над бинарным полем. Такие коды содержат вектор из всех единиц, а их нумератор весов является симметрическим многочленом. В прикладных задачах от самодополнительных $[n, k]$-кодов часто требуется при заданной длине $n$ и размерности $k$ иметь максимально возможное кодовое расстояние $d(k, n)$. Для $n < 13$ значения $d(k, n)$ уже известны. В настоящей работе для самодополнительных кодов длины $n=13, 14, 15$ ставится задача нахождения нижних оценок на $d(k, n)$, а также нахождение самих значений $d(k, n)$. Разработка эффективного способа получения нижней оценки, близкой к $d(k, n)$, является актуальной задачей, так как нахождение самих значений $d(k, n)$ в общем случае является трудной задачей. В работе предложены четыре способа нахождения нижних оценок: на основе циклических кодов, на основе остаточных кодов, на основе $(u|u + v)$-конструкции и на основе тензорного произведения кодов. На совместном использовании этих способов для рассмотренных длин удалось получить эффективным образом нижние оценки, либо совпадающие с найденными значениями $d(k, n)$, либо отличающиеся на единицу. В работе предложена последовательность проверок, которая в ряде случаев помогает доказать отсутствие самодополнительного $[n, k]$-кода с кодовым расстоянием $d$. В заключительной части работы на основе самодополнительных кодов предлагается конструкция для сокрытия информации, устойчивая к помехам в стегоконтейнере. Приведенные расчеты показывают большую эффективность новой конструкции по сравнению с известными конструкциями.