Инструменты численного моделирования и $S$-производные

Численное исследование различных процессов приводит к необходимости уточнения (расширения) границ применимости вычислительных конструкций и инструментов моделирования. Для динамических систем данный вопрос может быть связан с обобщением понятия производной, сохраняющим актуальными применяемые конструкции. В настоящей статье вводится понятие слабой локальной дифференцируемости в пространстве интегрируемых по Лебегу функций и рассматриваются согласованность этого понятия с такими основополагающими вычислительными построениями как разложение Тейлора и конечные разности, а также свойства функций, обладающих данного вида дифференцируемостью на отрезке.
Функцию $f$ из $L_1[a; b]$ назовём $S$-дифференцируемой в точке $x_0$ из $(a; b)$, если существуют коэффициенты $c$ и $q$, при которых выполняется $\int_{x_0}^{x_0+h}(f(x)-c-q\cdot(x-x_0))dx=o(h^2)$. Найдены формулы для вычисления коэффициентов $c$ и $q$, которые удобно обозначить $f_S(x_0)$ и $f'_S(x_0)$ соответственно. Показано, что если функция $f$ принадлежит $W_1^{n-1}[a;b]$, $n$ больше $1$, и функция $f^{(n-1)}$ является $S$-дифференцируемой в точке $x_0$ из $(a; b)$, то $f$ приближается тейлоровским многочленом с точностью $o((x-x_0)^n)$, а отношение $\Delta_h^n(f,x_0)$ к $h^n$ стремится к $f_s^{(n)}(x_0)$ при стремлении $h$ к $0$. На основе частного $\Delta_h^n(f;\cdot)$ и $h^n$ строится последовательность $\{\Lambda_m^n[f]\}$ кусочно-постоянных функций, подчинённых разбиениям отрезка $[a; b]$ на $m$ равных частей. Показано, что для функции $f$ из $W_1^{n-1}[a;b]$, для которой определено значение $f_s^{(n)}(x_0)$, $\{\Lambda_m^n[f](x_0)\}$ сходится к $f_s^{(n)}(x_0)$ при стремлении $m$ к бесконечности, а для $f\in W_p^n[a;b]$ последовательность $\{\Lambda_m^n[f]\}$ сходится к $f^{(n)}$ по норме пространства $L_p[I]$. Место $S$-дифференцируемости в практическом и теоретическом плане определяется её двусторонними соотношениями с обычной дифференцируемостью. Доказан факт, что если $f$ принадлежит $W_1^{n-1}[I]$, и функция $f^{(n-1)}$ является равномерно $S$-дифференцируемой на $I$, то $f$ принадлежит $C^n[I]$. Рассмотренные построения имеют алгоритмический характер, и могут быть применены в численном исследовании на ЭВМ соответствующих моделей.