Вычисление производных в пространствах $L_p$, $1 \le p \le \infty$

В функциональном анализе хорошо известно рассуждение о построении производных $k$-го порядка в пространствах Соболева $W_p^k$ при помощи распространения оператора $k$-кратного дифференцирования с пространства $C^k.$ В то же время имеется определение $(k,p)$-дифференцируемости функции в индивидуальной точке, основанное на соответствующего порядка бесконечно малом отличии функции от приближающего её алгебраического многочлена $k$-ой степени в окрестности этой точки по норме пространства $L_p.$ Целью данной статьи является исследование согласованности операторного и локального построений производной и непосредственное их вычисление. Функция $f\in L_p[I]$, $p>0$ (при $p=\infty$ рассматриваются измеримые ограниченные на отрезке $I$ функции) называется $(k,p)$-дифференцируемой в точке $x \in I,$ если существует алгебраический многочлен $\pi$ степени не больше $k,$ для которого выполняется $ \Vert f-\pi \Vert_{L_p[J_h]} = o(h^{k+\frac{1}{p}}),$ где $J_h=[x-h; x+h]\cap I.$ Во внутренней точке при $k=1$ и $p=\infty$ это равносильно определению обычной дифференцируемости функции. Обсуждаемое понятие исследовалось и применялось в работах С. Н. Бернштейна [1], А. П. Кальдерона и А. Зигмунда [2]. В статье автора [3] показано, что равномерная $(k,p)$-дифференцируемость функции на отрезке $I$ при некотором $p\ge 1,$ равносильна принадлежности этой функции пространству $C^k[I]$ (существованию эквивалентной функции в $C^k[I]$). В настоящей статье построены интегрально-разностные выражения для вычисления обобщённых локальных производных натурального порядка в пространстве $L_1$ (следовательно, в пространствах $L_p$, $1\le p\le\infty$), а на их основе – последовательности кусочно-постоянных функций, подчинённых равномерным разбиениям отрезка. Показано, что для функции $f$ из пространства $W_p^k$ последовательность кусочно-постоянных функций, определённых посредством интегрально-разностных выражений $k$-го порядка, сходится к $f^{(k)}$ по норме пространства $L_p[I].$ Построения имеют алгоритмический характер, и могут быть применены в численном исследовании на ЭВМ различных дифференциальных моделей.