Геометрические оценки при интерполяции на $n$-мерном шаре

Пусть $n\in {\mathbb N}$, $B_n$ — евклидов единичный шар в ${\mathbb R}^n$, задаваемый неравенством $\|x\|\leq 1$, $\|x\|:=\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}$. Под $C(B_n)$ мы понимаем пространство непрерывных функций $f:B_n\to{\mathbb R}$ с нормой $\|f\|_{C(B_n)}:=\max\limits_{x\in B_n}|f(x)|$, под $\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)$ — совокупность многочленов от $n$ переменных степени $\leq 1$, т. е. линейных функций на ${\mathbb R}^n$. Пусть $x^{(1)}, \ldots, x^{(n+1)}$ — вершины $n$-мерного невырожденного симплекса $S\subset B_n$. Интерполяционный проектор $P:C(B_n)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)$, соответствующий симплексу $S$, определяется равенствами $Pf\left(x^{(j)}\right)=
f\left(x^{(j)}\right).$ Через $\|P\|_{B_n}$ обозначим норму $P$ как оператора из $C(B_n)$ в $C(B_n)$. Определим $\theta_n(B_n)$ как минимальную величину $\|P\|_{B_n}$ при условии $x^{(j)}\in B_n$. Описывается подход, при котором норму проектора удаётся оценить снизу через объём симплекса. Пусть $\chi_n(t):=\frac{1}{2^nn!}\left[ (t^2-1)^n \right] ^{(n)}$ — стандартизованный многочлен Лежандра степени $n$. В статье доказывается неравенство $ \|P\|_{B_n} \geq \chi_n^{-1} \left(\frac{\mathrm{vol}(B_n)}{\mathrm{vol}(S)}\right).$ Из этой оценки выводится эквивалентность $\theta_n(B_n)$ $\asymp$ $\sqrt{n}$. Даются оценки констант из неравенств отмеченного вида, а также сравнение с аналогичными соотношениями для линейной интерполяции на единичном $n$-мерном кубе $[0,1]^n$. Полученные результаты могут иметь приложения в полиномиальной интерполяции и вычислительной геометрии.