Особые точки кривых

В данной работе затрагивается ключевая проблема геометрического моделирования, связанная с построением кривых пересечения поверхностей. Найдены способы построения кривых пересечения в сложных случаях: при касании и при прохождении через особые точки поверхностей. В первой части работы рассматривается проблема определения линии касания двух поверхностей, заданных в параметрическом виде. Анализируется несколько подходов к решению задачи. Выявляются достоинства и недостатки приведенных подходов. Описываются итерационные алгоритмы поиска точки на линии касания. Вторая часть работы посвящена методам преодоления возникающих трудностей решения задачи для сингулярных точек кривых пересечения, в которых нарушается регулярный итерационный процесс. В зависимости от типа поставленной задачи автор останавливается на двух методах. Первый из них предполагает находить особые точки кривых без использования итерационных методов, что уменьшает время работы алгоритма по построению кривой пересечения. Второй метод, рассматриваемый в заключительной части статьи, относится к численным методам. В этой части автор вводит функцию, достигающую глобального минимума только в особых точках кривых пересечения, и решает задачу минимизации этой функции. Применение этого метода является весьма эффективным в некоторых частных случаях, накладывающих ограничения на поверхности и их расположение. В заключение рассматривается использование этого метода в случае, когда функция имеет такой рельеф, что в окрестности точки минимума поверхности уровня являются сильно вытянутыми эллипсоидами. Все изображения, приведенные в данной статье, являются результатом работы алгоритмов по методам, предложенным автором. Изображения получены с помощью авторской программной среды.