О дифференцируемости по Тейлору в пространствах $L_p, 0<p\leq \infty$

Функция $f\in L_p[I], \;p>0,$ называется $(k,p)$-дифференцируемой в точке $x_0\in I,$ если существует алгебраический многочлен $\pi$ степени не больше $k,$ для которого выполняется $ \Vert f-\pi \Vert_{L_p[J_h]} = o(h^{k+\frac{1}{p}}), $ где $\;J_h=[x_0-h; x_0+h]\cap I.$ Во внутренней точке при $k=1$ и $p=\infty$ это равносильно определению обычной дифференцируемости функции. Имеется стандартная «иерархия» существования дифференциалов: если $p_1<p_2,$ то из $(k,p_2)$-дифференцируемости следует $(k,p_1)$-дифференцируемость. В работах С.Н. Бернштейна, А.П. Кальдерона и А. Зигмунда были даны приложения такой конструкции к построению описания функциональных пространств ($p=\infty$) и изучению локальных свойств решений дифференциальных уравнений $(1\le p\le\infty)$ соответственно. Данная статья связана с первой указанной работой. В статье вводится понятие равномерной дифференцируемости. Назовём $(k,p)$-дифференцируемую во всех точках отрезка $I$ функцию $f$ равномерно $(k,p)$-дифференцируемой на $I$, если для любого числа $\varepsilon>0$ найдется число $\delta>0$ такое, что для каждой точки $x\in I$ выполняется $ \Vert f-\pi\Vert_{L_p[J_h]}<\varepsilon\cdot h^{k+\frac{1}{p}} \; $ при $0<h<\delta, \; J_h=[x\!-\!h; x\!+\!h]\cap I,$ где $\pi$ — многочлен из условия $(k,p)$-дифференцируемости в точке $x$. На основе методов локальных приближений функций алгебраическими многочленами показано, что из равномерной $(k,p)$-дифференцируемости функции $f$ при некотором $1\le p\le\infty$ следует $f\in C^k[I].$ Следовательно, в таком случае дифференциалы «эквивалентны». Поскольку каждая функция из $C^k[I]$ является равномерно $(k,p)$-дифференцируемой на отрезке $I$ при $1\le p\le\infty,$ то получаем определённый критерий принадлежности функции этому пространству. Диапазон $0<p<1,$ очевидно, может быть включён в необходимое условие принадлежности функции $C^k[I]$, однако достаточность дифференцируемости по Тейлору в этом диапазоне пока в полной мере не доказана.