О гипотезах Ходжа, Тэйта и Мамфорда–Тэйта для расслоенных произведений семейств регулярных поверхностей с геометрическим родом 1

Доказаны гипотезы Ходжа, Тэйта и Мамфорда–Тэйта для расслоенного произведения двух неизотривиальных 1-параметрических семейств регулярных поверхностей с геометрическим родом 1 при некоторых условиях на вырожденные слои, ранги групп Нерона–Севери общих геометрических слоёв семейств и представления групп Ходжа в трансцендентных частях рациональных когомологий.
Пусть $\pi_i:X_i\to C\quad (i = 1, 2)$ — проективное неизотривиальное семейство поверхностей (возможно, с вырождениями) над гладкой проективной кривой $C$. Предположим, что дискриминантные локусы $\Delta_i=\{\delta\in C\,\,\vert\,\,\mathrm{Sing}(X_{i\delta})\neq\varnothing\}$ не пересекаются, $h^{2,0}(X_{ks})=1,\quad h^{1,0}(X_{ks}) = 0$ для любого гладкого слоя $X_{ks}$, причём выполнены следующие условия:
$(i)$ для любой точки $\delta \in \Delta_i$ и преобразования Пикара–Лефшеца $ \gamma \in \mathrm{GL}(H^2 (X_{is}, \mathbb{Q})) $, ассоциированного с гладкой частью $\pi'_i: X'_i\to C\setminus\Delta_i$ морфизма $\pi_i$ и с обходом вокруг точки $\delta \in C$, имеем неравенство $(\log(\gamma))^2\neq0$;
$(ii)$ многообразия $X_i \, (i = 1, 2)$, кривая $C$ и структурные морфизмы $\pi_i:X_i\to C$ определены над некоторым конечнопорожденным подполем $k \hookrightarrow \mathbb{C}$.
Если для общих геометрических слоев $X_{1s}$   и   $X_{2s}$ выполнено хотя бы одно из следующих условий: $(a)$ $b_2(X_{1s})-\mathrm{rank}\, \mathrm{NS}(X_{1s})$ является нечетным числом, $\,$ $b_2(X_{1s})-\mathrm{rank}\,\mathrm{NS}(X_{1s})\neq b_2(X_{2s})-\mathrm{rank}\, \mathrm{NS}(X_{2s})$; $(b)$ кольцо $\mathrm{End}_{\mathrm{Hg}(X_{1s})} \mathrm{NS}_{\mathbb{Q}}(X_{1s})^\perp$ – мнимое квадратичное поле, $\, b_2(X_{1s})-\mathrm{rank}\,\mathrm{NS}(X_{1s})\neq 4,$ $\, \mathrm{End}_{\mathrm{Hg}(X_{2s})} \mathrm{NS}_{\mathbb{Q}}(X_{2s})^\perp$ – вполне вещественное поле или $\, b_2(X_{1s})-\mathrm{rank}\,\mathrm{NS}(X_{1s})\,>\, b_2(X_{2s})-\mathrm{rank}\, \mathrm{NS}(X_{2s})$; $(c)$ $[b_2(X_{1s})-\mathrm{rank}\,\mathrm{NS}(X_{1s})\neq 4, \, \mathrm{End}_{\mathrm{Hg}(X_{1s})} \mathrm{NS}_{\mathbb{Q}}(X_{1s})^\perp= \mathbb{Q}$; $\,$ $b_2(X_{1s})-\mathrm{rank}\,\mathrm{NS}(X_{1s})\neq b_2(X_{2s})-\mathrm{rank}\, \mathrm{NS}(X_{2s})$, то для расслоенного произведения $X_1 \times_C X_2$ верна гипотеза Ходжа, для любого гладкого проективного $k$-многообразия $X_0$ с условием $X_1 \times_C X_2$ $\widetilde{\rightarrow}$ $X_0 \otimes_k \mathbb{C}$ верны гипотеза Тэйта об алгебраических циклах и гипотеза Мамфорда–Тэйта для когомологий чётной степени. Более того, пространство $H^2_{\text{\'e}t}(X_0 \otimes_k \overline{k}, \mathbb{Q}_l(1))$ порождается классами дивизоров.