Oб оптимальной интерполяции линейными функциями на $n$-мерном кубе

Пусть $n\in{\mathbb N}$, $Q_n=[0,1]^n$. Через $C(Q_n)$ обозначим пространство непрерывных функций $f:Q_n\to{\mathbb R}$ с нормой $\|f\|_{C(Q_n)}:=\max\limits_{x\in Q_n}|f(x)|,$ через $\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)$ — совокупность многочленов от $n$ переменных степени $\leq 1$ (или линейных функций). Пусть $x^{(j)},$ $1\leq j\leq n+1,$ — вершины $n$-мерного невырожденного симплекса $S\subset Q_n$. Интерполяционный проектор $P:C(Q_n)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)$, соответствующий симплексу $S$, определяется равенствами $Pf\left(x^{(j)}\right)= f\left(x^{(j)}\right).$ Норма $P$ как оператора из $C(Q_n)$ в $C(Q_n)$ может быть вычислена по формуле $\|P\|=\max\limits_{x\in\mathrm{ver}\,(Q_n)} \sum\limits_{j=1}^{n+1} |\lambda_j(x)|.$ Здесь $\lambda_j$ — базисные многочлены Лагранжа, соответствующие $S,$ $\mathrm{ver}\,(Q_n)$ — совокупность вершин $Q_n$. Через $\theta_n$ обозначим минимальную величину $\|P\|.$ Ранее первым автором были доказаны различные соотношения и оценки для величин $\|P\|$ и $\theta_n$, в том числе имеющие геометрический характер. Справедлива эквивалентность $\theta_n\asymp \sqrt{n}.$ Подходящими по размерности $n$ неравенствами являются, например, $\frac{1}{4}\sqrt{n}<\theta_n<3\sqrt{n}.$ Для проектора $P^*$, узлы которого совпадают с вершинами произвольного симплекса максимального объёма в кубе, выполняется $\|P^*\|\asymp\theta_n.$ Если существует матрица Адамара порядка $n+1$, то $\theta_n\leq\sqrt{n+1}.$ В настоящей статье приводятся уточнённые верхние границы чисел $\theta_n$ для $21\leq n \leq 26$, полученные с применением симплексов максимального объёма в кубе. Для построения этих симплексов применяются максимальные определители, элементы которых равны $\pm 1.$ Мы также систематизируем и комментируем лучшие на настоящий момент верхние и нижние оценки чисел $\theta_n$ для конкретных $n.$