|
Эта публикация цитируется в 11 научных статьях (всего в 11 статьях)
Вычислительная геометрия
Oб оптимальной интерполяции линейными функциями на $n$-мерном кубе
М. В. Невский, А. Ю. Ухалов НОМЦ Центр интегрируемых систем, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова,
ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 Российская Федерация
Аннотация:
Пусть $n\in{\mathbb N}$, $Q_n=[0,1]^n$.
Через
$C(Q_n)$ обозначим пространство непрерывных функций
$f:Q_n\to{\mathbb R}$ с нормой
$\|f\|_{C(Q_n)}:=\max\limits_{x\in Q_n}|f(x)|,$ через
$\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)$ —
совокупность многочленов от $n$ переменных степени $\leq 1$ (или линейных функций).
Пусть $x^{(j)},$ $1\leq j\leq n+1,$ — вершины
$n$-мерного невырожденного симплекса $S\subset Q_n$.
Интерполяционный проектор
$P:C(Q_n)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)$, соответствующий симплексу
$S$,
определяется равенствами
$Pf\left(x^{(j)}\right)=
f\left(x^{(j)}\right).$
Норма $P$ как оператора из $C(Q_n)$
в $C(Q_n)$ может быть вычислена по формуле
$\|P\|=\max\limits_{x\in\mathrm{ver}\,(Q_n)} \sum\limits_{j=1}^{n+1}
|\lambda_j(x)|.$
Здесь $\lambda_j$ — базисные многочлены Лагранжа, соответствующие $S,$
$\mathrm{ver}\,(Q_n)$ — совокупность вершин $Q_n$.
Через $\theta_n$ обозначим минимальную величину $\|P\|.$
Ранее первым автором были доказаны различные соотношения и оценки для величин
$\|P\|$ и $\theta_n$,
в том числе имеющие геометрический характер.
Справедлива эквивалентность $\theta_n\asymp \sqrt{n}.$
Подходящими по размерности $n$ неравенствами являются, например,
$\frac{1}{4}\sqrt{n}<\theta_n<3\sqrt{n}.$
Для проектора $P^*$, узлы которого
совпадают с вершинами произвольного симплекса максимального объёма в кубе, выполняется
$\|P^*\|\asymp\theta_n.$
Если существует матрица Адамара порядка $n+1$, то
$\theta_n\leq\sqrt{n+1}.$
В настоящей статье приводятся уточнённые верхние границы
чисел $\theta_n$ для $21\leq n \leq 26$, полученные с применением
симплексов максимального объёма в кубе. Для построения этих симплексов
применяются максимальные
определители, элементы которых равны $\pm 1.$
Мы также систематизируем и комментируем
лучшие на настоящий момент верхние и нижние оценки чисел $\theta_n$
для конкретных $n.$
Ключевые слова:
$n$-мерный симплекс, $n$-мерный куб, интерполяция, проектор, норма, численные методы.
Поступила в редакцию: 11.12.2017
Образец цитирования:
М. В. Невский, А. Ю. Ухалов, “Oб оптимальной интерполяции линейными функциями на $n$-мерном кубе”, Модел. и анализ информ. систем, 25:3 (2018), 291–311; Automatic Control and Computer Sciences, 52:7 (2018), 828–842
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/mais629 https://www.mathnet.ru/rus/mais/v25/i3/p291
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 217 | PDF полного текста: | 79 | Список литературы: | 24 |
|