Коды в диэдральной групповой алгебре

В 1978 году Р. Мак-Элисом построена первая асимметричная кодовая криптосистема, основанная на применении помехоустойчивых кодов Гоппы, при этом эффективные атаки на секретный ключ этой криптосистемы до сих пор не найдены. К настоящему врмени известно достаточно много кодовых криптосистем, но их криптографическая стойкость уступает стойкости классической криптосистемы Мак-Элиса. В связи с развитием квантовых вычислений кодовые криптосистемы рассматриваются как альтернатива теоретико-числовым, поэтому актуальной представляется задача поиска перспективных классов кодов для построения новых стойких кодовых криптосистем. Для этого можно использовать некоммутативные коды, т.е. идеалы в групповых алгебрах $\mathbb{F}_qG$ над конечными некоммутативными группами $G$. Ранее изучалась стойкость криптосистем на кодах, индуцированных кодами на подгруппах. Важной для исследования некоммутативных кодов является теорема Веддерберна, доказывающая существование изоморфизма групповой алгебры на прямую сумму матричных алгебр, но конкретный вид слагаемых и конструкция изоморфизма этой теоремой не определены, и поэтому для каждой группы остается задача построения представления Веддерберна. Ф.Е.Б. Мартинесом получено полное представление Веддерберна для групповой алгебры $\mathbb{F}_qD_{2n}$ над диэдральной группой $D_{2n}$ в случае, когда мощность поля и порядок группы взаимно просты. С использованием этих результатов в настоящей работе исследуются коды в групповой алгебре $\mathbb{F}_qD_{2n}$. Решена задача о структуре всех кодов и описана структура кодов, которые индуцированы кодами над циклическими подгруппами группы $D_{2n}$, что представляет интерес для криптографических приложений.