Задача о кратчайшем пути в кратном графе

В статье вводится определение неориентированного кратного графа произвольной натуральной кратности $k>1$. Кратный граф содержит ребра трех типов: обычные, кратные и мультиребра. Ребра последних двух типов представляют собой объединение $k$ связанных ребер, которые соединяют 2 или $k+1$ вершину соответственно. Связанные ребра могут использоваться только согласованно. Если вершина инцидентна какому-либо кратному ребру, то она может быть инцидентна другим кратным ребрам, а также она может быть общим концом $k$ связанных ребер какого-либо мультиребра. Если вершина является общим концом какого-либо мультиребра, то она не может быть общим концом никакого другого мультиребра.
Отдельно рассматривается класс делимых кратных графов, основной особенностью которых является возможность выделения $k$ частей, согласованных на всех связанных ребрах и не содержащих общих ребер. Каждая из частей является обычным графом.
Для кратного графа обобщаются понятия степени вершины, связности графа, пути, цикла, веса ребра и длины пути.
Вводится понятие множества достижимости по обычным и по кратным ребрам, определяется свойство смежности двух множеств достижимости. Показано, что проверка связности кратного графа может быть выполнена за полиномиальное время с помощью алгоритма, основанного на поиске множеств достижимости и проверки их смежности.
Рассматривается критерий существования кратного пути между двумя вершинами и ставится задача о кратчайшем кратном пути. Строится алгоритм поиска кратчайшего пути в кратном графе, который использует алгоритм Дейкстры для поиска кратчайших путей в подграфах, соответствующих отдельным множествам достижимости.