Бифуркации пространственно неоднородных решений в одной краевой задаче для обобщенного уравнения Курамото–Сивашинского

В работе рассматривается дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа, в котором неизвестная функция зависит от трех независимых переменных: времени и двух пространственных. Данное уравнение можно назвать обобщенным уравнением Курамото–Сивашинского, и оно описывает процесс формирования неоднородного рельефа на поверхности полупроводников под воздействием ионной бомбардировки. В работе это уравнение рассматривается вместе с однородными краевыми условиями Неймана. Для данной краевой задачи изучается вопрос о локальных бифуркациях пространственно неоднородных состояний равновесия при смене ими устойчивости. Показано, что в результате бифуркации могут появиться пространственно неоднородные состояния равновесия трех типов. Выведены условия на коэффициенты, при которых происходит потеря устойчивости. В случаях, близких к критическим, для значений параметров рассмотрены задачи о локальных бифуркациях. Показано, что вопрос о формировании неоднородного рельефа с математической точки зрения сводится к изучению вспомогательных обыкновенных дифференциальных уравнений, которые принято называть нормальной формой Пуанкаре–Дюлака. Для решения возникающих бифуркационных задач были использованы методы исследования динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством (пространством начальных условий), такие как: метод инвариантных многообразий в сочетании с аппаратом теории нормальных форм. В частности, изучен вопрос об устойчивости найденных решений, а также получены асимптотические формулы для бифурцирующих пространственно неоднородных решений. Подтверждено, что формирование неоднородного рельефа можно рассматривать как явление самоорганизации.