Об $n$-мерных симплексах, удовлетворяющих включениям $S\subset [0,1]^n\subset nS$

Пусть $n\in{\mathbb N}$, $Q_n=[0,1]^n.$ Для невырожденного симплекса $S\subset {\mathbb R}^n$ через $\sigma S$ обозначим образ $S$ при гомотетии относительно центра тяжести $S$ с коэффициентом $\sigma.$ Под $d_i(S)$ понимается $i$-й осевой диаметр $S$, т. е. максимальная длина отрезка из $S$, параллельного $i$-й координатной оси. Пусть $\xi(S)=\min \{\sigma\geq 1: Q_n\subset \sigma S\},$ $\xi_n=\min \{ \xi(S): \, S\subset Q_n \}.$ Через $\alpha(S)$ обозначим минимальное $\sigma>0,$ для которого $Q_n$ принадлежит трансляту симплекса $\sigma S$. Рассмотрим квадратную матрицу $\mathbf{A}$ порядка $n+1$, строки которой содержат координаты вершин $S$, а последний столбец состоит из 1. Пусть $\mathbf{A}^{-1}$ $=(l_{ij})$. Через $\lambda_j$ обозначим линейную функцию на ${\mathbb R}^n$, коэффициенты которой составляют $j$-й столбец $\mathbf{A}^{-1}$, т. е. $\lambda_j(x)= l_{1j}x_1+\ldots+ l_{nj}x_n+l_{n+1,j}.$ Ранее первым автором были доказаны равенства $ \frac{1}{d_i(S)}=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n+1} \left|l_{ij}\right|, \ \alpha(S) =\sum_{i=1}^n\frac{1}{d_i(S)}.$ В статье рассматривается случай $S\subset Q_n$. Тогда все $d_i(S)\leq 1$, поэтому $n\leq \alpha(S)\leq \xi(S).$ Если же для некоторого симплекса $S^\prime\subset Q_n$ выполняется $\xi(S^\prime)=n,$ то $\xi_n=n$, $\xi(S^\prime)=\alpha(S^\prime)$ и $d_i(S^\prime)=1$. Однако указанные $S^\prime$ существуют не для всех размерностей. Первое такое значение $n$ равно 2. Для любого двумерного симплекса $\xi(S)\geq \xi_2=1+\frac{3\sqrt{5}}{5}=2.34 \ldots>2$. Справедлива двусторонняя оценка $n\leq \xi_n<n+1$. Равенство $\xi_n=n$ имеет место, если существует матрица Адамара порядка $n+1$. Дальнейшие исследования показали, что $\xi_n=n$ и для ряда других размерностей $n$. В частности, симплексы с условием $S\subset Q_n\subset nS$ были найдены для всех нечётных $n$ в промежутке $1\leq n\leq 11$. В первой части настоящей статьи приводятся новые результаты о симплексах, удовлетворяющих указанным включениям. Доказывается, что если $S\subset Q_n\subset nS$, то центр тяжести $S$ совпадает с центром $Q_n$. Устанавливаются равенства $ \sum_{j=1}^{n+1} |l_{ij}|=2 \quad (1\leq i\leq n), \sum_{i=1}^{n} |l_{ij}|=\frac{2n}{n+1} \quad (1\leq j\leq n+1). $ Приводится ряд следствий. Во второй части статьи обсуждается следующая гипотеза. Пусть для симплекса $S\subset Q_n$ выполняется равенство $\xi(S)=\xi_n$. Тогда $(n-1)$-мерные гиперплоскости, содержащие грани $S$, отсекают от куба $Q_n$ равные по объёму части. Хотя это справедливо для $n=2$ и $n=3$, в общем случае эта гипотеза не верна.