Импульсно-рефрактерный режим в кольцевой цепи синаптически связанных осцилляторов нейронного типа

В настоящей работе рассматривается математическая модель кольцевой нейронной сети из четного числа синаптически взаимодействующих элементов. Модель представляет собой систему скалярных нелинейных дифференциально-разностных уравнений, правые части которых зависят от большого параметра. Неизвестные функции, входящие в систему, характеризуют мембранные потенциалы нейронов. Представляет интерес поиск в рамках данной системы уравнений специальных, так называемых импульсно-рефрактерных режимов, а именно периодических решений, в которых функции с номерами одной четности обладают асимптотически большим всплеском на периоде, а другой четности — всюду асимптотически малы. С этой целью последовательно делается две замены, позволяющие перейти от исследования исходной системы к двумерной системе скалярных нелинейных дифференциально-разностных уравнений с двумя запаздываниями. Далее, при стремлении большого параметра к бесконечности определяется предельный объект, представляющий собой релейную систему уравнений с двумя запаздываниями. Конструктивно, с использованием метода шагов, доказывается, что решение релейной системы уравнений с начальной функцией из подходящего класса совпадает с одной и той же периодической функцией с требуемыми свойствами. Затем определяется оператор последований Пуанкаре и с использованием принципа Шаудера доказывается существование релаксационного периодического решения двумерной сингулярно возмущенной системы. Для этого строится асимптотика этого решения, а затем доказывается его близость к решению релейной системы уравнений. Из экспоненциальной оценки производной Фреше оператора Пуанкаре следует единственность в построенном классе функций решения двумерной дифференциально-разностной системы уравнений с двумя запаздываниями, а также обосновывается его экспоненциальная орбитальная устойчивость. Далее, с помощью обратной замены доказанный результат переносится на исходную систему.