Разложение самоподобных функций в системе Фабера–Шаудера

Пусть $\Omega = {\mathcal A}^{{\mathbb N}}$ — пространство правосторонних бесконечных последовательностей символов алфавита ${\mathcal A} = \{0,1\}$, ${\mathbb N} = \{1,2,\dots \} $. Пусть
$$ \rho(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \sum_{k=1}^{\infty}|x_{k} - y_{k}|2^{-k} $$
— метрика на $\Omega = {\mathcal A}^{{\mathbb N}}$, и $\mu$ — мера Бернулли на $\Omega$ с вероятностями $p_0,p_1>0$, $p_0+p_1=1$. Обозначим через $B(\mathbf{x},\omega)$ открытый шар радиуса $r$ с центром в точке $\mathbf{\omega}$. Основной результат работы
$$ \mu\left(B(\mathbf{\omega},r)\right) = r+\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{2^n-1}\mu_{n,j}(\mathbf{\omega})\tau(2^nr-j), $$
где $\tau(x) =2\min\{x,1-x\}$, $0\leq x \leq 1$, ($\tau(x) = 0$, if $x<0$ or $x>1$),
$$ \mu_{n,j}(\mathbf{\omega}) = \left(1-p_{\omega_{n+1}}\right) \prod_{k=1}^n p_{\omega_k\oplus j_k},\ \ j = j_12^{n-1}+j_22^{n-2}+\dots+j_n. $$
Семейство функций $1,x,\tau(2^nx-j)$, $j =0,1,\dots,2^n-1$, $n=0,1,\dots$ является системой Фабера–Шаудера в пространстве $C([0, 1])$ непрерывных функций на $[0, 1]$. Также получены разложения в системе Фабера–Шаудера для сингулярной функции Лебега, кривых Чезаро и кривых Коха–Пеано.