О гипотезах Тэйта для дивизоров на расслоенном многообразии и его общем схемном слое в случае конечной характеристики

В работе изучаются взаимоотношения между гипотезой Тэйта для дивизоров на расслоенном многообразии над конечным полем и гипотезой Тэйта для дивизоров на общем схемном слое при условии, что общий схемный слой имеет иррегулярность нуль. Пусть $\pi:X\to C$ — сюръективный морфизм гладких проективных многообразий над конечным полем $\mathbb{F}_q$ характеристики $p$, $C$ — кривая, общий схемный слой морфизма $\pi$ является гладким многообразием $V$ над полем $k=\kappa(C)$ рациональных функций кривой $C$, $\overline k$ — алгебраическое замыкание поля $k$, $k^s$ — его сепарабельное замыкание, $\operatorname{NS}(V)$ — группа Нерона–Севери классов дивизоров на многообразии $V$ по модулю алгебраической эквивалентности, причем выполнены следующие условия: $H^1(V\otimes\overline k,\mathcal O_{V\otimes\,\overline k})=0$, $\operatorname{NS}(V)=\operatorname{NS}(V\otimes\overline k)$. Если для простого числа $l$, не делящего ${\operatorname{Card}}([\operatorname{NS}(V)]_{\operatorname{tors}})$ и отличного от характеристики поля $\mathbb{F}_q$, верно соотношение $\operatorname{NS}(V)\otimes\mathbb{Q}_l\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,[H^2(V\otimes k^{\operatorname{s}},\mathbb{Q}_l(1))]^{\operatorname{Gal}( k^{\operatorname{s}}/k)} $ (другими словами, если верна гипотеза Тэйта для дивизоров на $V$), то для любого простого числа $l\neq\operatorname{char}(\mathbb{F}_q)$ гипотеза Тэйта верна для дивизоров на $X$: $\operatorname{NS}(X)\otimes\mathbb{Q}_l\,\,\widetilde{\rightarrow} \,\,[H^2(X\otimes\overline{\mathbb{F}}_q,\mathbb{Q}_l(1))]^{\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q)}$. В частности, из этого результата следует гипотеза Тэйта для дивизоров на арифметической модели $\operatorname{K}3$-поверхности над достаточно большим глобальным полем конечной характеристики, отличной от $2$.