Пополнение ядра оператора дифференцирования

При изучении кусочно-полиномиальных приближений в пространствах $L_p,\;$ $ 0 < p < 1,$ автором было рассмотрено распространение $k$-й производной (оператора) с соболевских пространств $ W_1^k $ на пространства, являющиеся в определённом смысле их преемниками и имеющие нижний индекс меньше единицы. Данная статья продолжает работы автора по исследованию свойств, обретаемых оператором дифференцирования $\Lambda$ при распространении его за границы пространства $W_1^1$ $\big/ \Lambda : W_1^1 \mapsto L_1,\; \Lambda f = f^{\;'} \big/$. Исследования проводятся с помощью введения семейства пространств $Y_p^1,\; 0 < p < 1,$ имеющего аналогию с семейством $W_p^1,\; 1 \le p < \infty.$ Пространства $Y_p^1$ снабжены квазинормами, построенными на основе квазинорм соответствующих пространств $L_p,$ и для них выполняется $\; \Lambda : Y_p^1 \mapsto L_p$. Такой подход даёт новый взгляд на свойства производной. Например, была показана аддитивность относительно интервала продолженного оператора дифференцирования:
$$ \bigcup_{n=1}^{m} \Lambda (f_n) = \Lambda (\bigcup_{n=1}^{m} f_n).$$
Здесь для функции $f_n,$ заданной на $[x_{n-1};x_n],\; a = x_0 < x_1 < \cdots < x_m = b,$ определено $\Lambda (f_n).$ Одной из наиболее важных характеристик линейного оператора является состав ядра. При распространении оператора дифференцирования с пространства $C^1$ на пространства $W_p^1$ его ядро не изменяется. В статье конструктивно показано, что функции скачков и сингулярные функции $f$ принадлежат всем пространствам $ Y_p^1,$ и для них $\Lambda f =0.$ Следовательно, пространство функций ограниченной вариации $H_1^1$ содержится в каждом $Y_p^1,$ и оператор $\Lambda$ на $H_1^1$ удовлетворяет соотношению $\Lambda f = f^{\;'}.$ Также приходим к выводу, что сингулярной логично назвать каждую функцию из добавленной части ядра.