Об асимптотике решений гармонического осциллятора с интегральным возмущением

В работе строятся асимптотические формулы для решений гармонического осциллятора с интегральным возмущением при стремлении независимой переменной к бесконечности. Особенностью рассматриваемого интегрального возмущения является колебательно убывающий характер его ядра. Предполагается, что интегральное ядро является вырожденным. Данное обстоятельство позволяет свести исходное интегро-дифференциальное уравнение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При построении асимптотических формул для базисных решений полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений используется специальный метод асимптотического интегрирования линейных динамических систем с колебательно убывающими коэффициентами. В результате серии специальных преобразований система обыкновенных дифференциальных уравнений приводится к так называемому $L$-диагональному виду. Асимптотика фундаментальной матрицы $L$-диагональной системы может быть построена с помощью классической теоремы Н. Левинсона. Полученные асимптотические формулы позволяют выявить так называемые резонансные частоты, т.е. частоты колебательной составляющей ядра, при которых у исходного интегро-дифференциального уравнения имеются неограниченные решения. Как оказывается, эти частоты несколько отличаются от резонансных частот в адиабатическом осцилляторе с синусоидальной колебательной составляющей убывающего во времени возмущения.