О числовых характеристиках симплекса и их оценках

Пусть $n\in {\mathbb N}$, $Q_n=[0,1]^n$ — $n$-мерный единичный куб. Для невырожденного симплекса $S\subset {\mathbb R}^n$ через $\sigma S$ обозначим образ $S$ при гомотетии относительно центра тяжести $S$ с коэффициентом гомотетии $\sigma$. В работе рассматриваются следующие числовые характеристики симплекса. Обозначим через $\xi(S)$ минимальное $\sigma>0$, такое что $Q_n\subset \sigma S$. Через $\alpha(S)$ обозначим минимальное $\sigma>0$, при котором $Q_n$ принадлежит трансляту симплекса $\sigma S$. Пусть $d_i(S)$ — $i$-й осевой диаметр $S$, т. е. максимальная длина отрезка, принадлежащего $S$ и параллельного $i$-й координатной оси. Применяются формулы для вычиcления $\xi(S)$, $\alpha(S)$, $d_i(S)$, полученные ранее первым автором. В статье рассматривается случай $S\subset Q_n$.
Пусть $\xi_n=\min\{ \xi(S): S\subset Q_n\}. $ В работах первого автора была сформулирована гипотеза: если $\xi(S)=\xi_n$, то $\alpha(S)=\xi(S)$. Это утверждение было доказано им для $n=2$ и случая, когда $n+1$ — число Адамара, т. е. существует матрица Адамара порядка $n+1$. Более сильным утверждением является следующая гипотеза: для любого $n$ существует константа $\gamma \geq 1$, не зависящая от $S\subset Q_n$, с которой выполняется неравенство $\xi(S)-\alpha(S)\leq \gamma (\xi(S)-\xi_n).$ Минимальное $\gamma$ c этим свойством обозначается через $\varkappa_n$. Если $n+1$ — число Адамара, то точное значение $\varkappa_n$ равно 1. Существование $\varkappa_n$ для других $n$ было неясным. В работе с помощью компьютерных методов устанавливается, что
$$\varkappa_2 = \frac{5+2\sqrt{5}}{3}=3.1573\ldots $$
Доказывается новая оценка
$$\xi_4\leq \frac{19+5\sqrt{13}}{9}=4.1141\ldots,$$
улучшающая прежний результат $\xi_4\leq \frac{13}{3}=4.33\ldots$ Высказывается предположение, что $\xi_4$ в точности равно $\frac{19+5\sqrt{13}}{9}$. Использование этого значения в компьютерных вычислениях даёт значение
$$\varkappa_4 = \frac{4+\sqrt{13}}{5}=1.5211\ldots$$

Пусть $\theta_n$ — минимальная величина нормы интерполяционного проектора на пространство линейных функций $n$ переменных как оператора из $C(Q_n)$ в $C(Q_n)$. Известно, что при любом $n$
$$\xi_n\leq \frac{n+1}{2}\left(\theta_n-1\right)+1,$$
причём для $n=1,2,3,7$ в этом соотношении достигается равенство. Применение компьютера даёт результат $\theta_4=\frac{7}{3}$. Отсюда следует, что минимальное значение $n$, при котором в последнем соотношении выполняется строгое неравенство, равно 4.