Полилогарифмы и асимптотика моментов сингулярной функции Лебега

Напомним, что сингулярная функция Лебега $L(t)$ определяется как единственное решение уравнения
$$ L(t) = qL(2t) +pL(2t-1), $$
где $p,q>0$, $q=1-p$, $p\ne q$.
Моментами функции $L(t)$ будем называть величины
$$ M_n = \int_0^1t^n dL(t), \quad n = 0, 1, \dots $$

Основной результат настоящей работы
$$ M_n = n^{\log_2 p} e^{-\tau(n)}\left(1 + \mathcal{O}(n^{-0.99})\right), $$
где функция $\tau(x)$ является периодической от $\log_2x$ с периодом $1$ и задается как
\begin{gather*} \tau(x) = \frac12\ln p + \Gamma'(1)\log_2 p +\frac1{\ln 2}\frac{\partial}{\partial z}\left.\mathrm{Li}_{z}\left(-\frac{q}{p}\right)\right|_{z=1} +\frac1{\ln 2}\sum_{k\ne0} \Gamma(z_k)\mathrm{Li}_{z_k+1}\left(-\frac{q}{p}\right) x^{-z_k},\\ z_k = \frac{2\pi ik}{\ln 2}, \ k\ne 0. \end{gather*}
Доказательство основано на применении пуассонизации и преобразования Меллина.