Численное исследование начально-краевой задачи Неймана для сингулярно возмущенного параболического уравнения

Для одномерного сингулярно возмущенного параболического уравнения с возмущающим параметром $\varepsilon$ при старшей производной, $\varepsilon \in (0,1]$, рассматривается начально-краевая задача на отрезке с условием Неймана на границе. В этой задаче, когда параметр $\varepsilon$ стремится к нулю, в окрестностях боковой границы появляются пограничные слои.
В работе исследуется сходимость решения и его регулярной и сингулярной компонент. Показано, что стандартные разностные схемы на равномерных сетках, используемые для численного решения этой задачи, не сходятся $\varepsilon$-равномерно. Ошибка сеточного решения неограниченно растет, когда параметр $\varepsilon \rightarrow 0$. Использование специальной разностной схемы на сетке Шишкина — кусочно-равномерной по $x$ сетке, сгущающейся в окрестностях пограничных слоев, и равномерной по $t$, построенных с использованием монотонных сеточных аппроксимаций дифференциальной задачи — позволяет найти численное решение этой задачи, сходящееся в равномерной норме $\varepsilon$-равномерно. Результаты численных экспериментов подтверждают теоретические результаты.