Об алгебраических циклах на расслоенных произведениях неизотривиальных семейств регулярных поверхностей с геометрическим родом 1

Пусть $\pi_k:X_k\to C\quad (k = 1, 2) \,-\,$ проективное семейство поверхностей (возможно, с вырождениями) над гладкой проективной кривой $C$. Предположим, что дискриминантные локусы $\Delta_k=\{\delta\in C\,\,\vert\,\,\operatorname{Sing}(X_{k\delta})\neq\varnothing\} \quad (k = 1, 2)$ не пересекаются, причем $h^{2,0}(X_{ks})=1,\quad h^{1,0}(X_{ks}) = 0$ для любого гладкого слоя $X_{ks}$ и отображение периодов, ассоциированное с вариацией структур Ходжа $R^2 \pi'_{k\ast}\mathbb{Q}$ (где $\pi'_k: X'_k\to C\setminus\Delta_k \,-\,$ гладкая часть морфизма $\pi_k$), является непостоянным. Если для общих геометрических слоев $X_{1s}$   и   $X_{2s}$ выполнены следующие условия:
(i) $b_2(X_{1s})-\operatorname{rank} \operatorname{NS}(X_{1s})$ является нечетным числом;
(ii) $b_2(X_{1s})-\operatorname{rank}\operatorname{NS}(X_{1s})\neq b_2(X_{2s})-\operatorname{rank} \operatorname{NS}(X_{2s})$,
то для любой гладкой проективной модели $X$ расслоенного произведения $X_1\times_CX_2$ верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах.
Если, кроме того, морфизмы $\pi_k$ гладкие, $p_k=b_2(X_{ks}) -\operatorname{rank} \operatorname{NS}(X_{ks}) \,\,\,(k = 1,2) \,-\,$ нечетные простые числа и $p_1\neq p_2$, то для $X_1\times_CX_2$ и для расслоенного квадрата $X_1\times_CX_1$ верны гипотеза Ходжа и стандартная гипотеза Гротендика об алгебраичности операторов $\ast$ и $\Lambda$ теории Ходжа.
Этот результат доставляет новые примеры гладких проективных 5-мерных многообразий, для которых верны гипотезы Ходжа и Гротендика, потому что в качестве гладких слоев морфизма $\pi_k:X_k\to C$ могут быть $K3$-поверхности, а также минимальные регулярные поверхности основного типа (размерности Кодаиры $\varkappa=2$) с геометрическим родом $1$, принадлежащие одному из следующих типов: (a) поверхности с $K^2\leq 2$; (b) поверхности с $3\leq K^2\leq 8$, модули которых лежат в одной компоненте модулей с поверхностью Тодорова; (c) поверхности с $K^2 = 3$ с кручением группы Пикара $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.