|
Asymptotic formula for the moments of Bernoulli convolutions
[Асимптотика моментов симметричной свертки Бернулли]
E. A. Timofeev P.G. Demidov Yaroslavl State University, Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
Аннотация:
Для каждого $\lambda$, $0<\lambda<1$ определим случайную величину (симметричную свертку Бернулли)
$$
Y_\lambda = (1-\lambda)\sum_{n=0}^\infty \xi_n\lambda^n,
$$
где $\xi_n$ – независимые случайные величины с
$$
\mathrm{P}\{\xi_n =0\} =\mathrm{P}\{\xi_n =1\} =\frac12.
$$
Основной результат настоящей работы
$$
M_n = \mathrm{E} Y_\lambda^n =
n^{\log_{\lambda}2} 2^{\log_\lambda(1-\lambda)+0.5\log_\lambda2-0.5}
e^{\tau(-\log_{\lambda}n)}\left(1 + \mathcal{O}(n^{-0.99})\right),
$$
где функция
$$
\tau(x)=
\sum_{k\ne0}\frac1k\alpha\left(-\frac{k}{\ln\lambda}\right)e^{2\pi ikx}
$$
является периодической с периодом равным 1,
$$
\alpha(t) = -\frac{1}{2i\mathrm{sh}\,(\pi^2t)}
(1-\lambda)^{2\pi i t}(1 - 2^{2\pi i t})\pi^{-2\pi i t }2^{-2\pi i t }\zeta(2\pi i t),
$$
а $\zeta(z)$ – дзета-функция Римана.
Статья публикуется в авторской редакции.
Ключевые слова:
моменты, самоподобие, свертка Бернулли, сингулярная функция, преобразование Меллина, асимптотика.
Поступила в редакцию: 08.02.2016
Образец цитирования:
E. A. Timofeev, “Asymptotic formula for the moments of Bernoulli convolutions”, Модел. и анализ информ. систем, 23:2 (2016), 185–194
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/mais490 https://www.mathnet.ru/rus/mais/v23/i2/p185
|
|