Анализ локальных бифуркаций для уравнения с запаздыванием, зависящим от искомой функции

В работе рассматривается уравнение первого порядка с запаздыванием, зависящим от искомой функции, с нелинейной правой частью. Для этого уравнения предполагаются выполненными условия существования и единственности решения начальной задачи. Ставится задача исследования поведения решений рассматриваемого уравнения в малой окрестности его нулевого положения равновесия. Изучение локальной динамики проводится в зависимости от вещественных параметров — коэффициентов тейлоровского разложения правой части. Параметр, являющийся коэффициентом при линейном члене, имеет два критических значения, определяющих область устойчивости нулевого положения равновесия. Чтобы исследовать изменение локальной динамики уравнения при переходе данного параметра через критические значения, вводится малый параметр и применяется асимптотический метод нормальных форм. Показывается, что для первого случая в уравнении имеет место бифуркация обмена устойчивостью, а для второго случая — суперкритическая бифуркация Андронова–Хопфа (при выполнении достаточного условия). Для каждого из устойчивых режимов получены их асимптотические разложения по соответствующим малым параметрам. Затем в качестве примера рассматривается логистическое уравнение с запаздыванием, зависящим от искомой функции. Для этого уравнения бифуркационный параметр имеет единственное критическое значение. С помощью метода нормальных форм устанавливается простое достаточное условие возникновения суперкритической бифуркации Андронова–Хопфа в уравнении при переходе параметра через критическое значение.