О финитной отделимости подгрупп в расщепляемых расширениях

В 1973 году Аленби и Грегорас доказали следующее утверждение. Пусть $G$ — расщепляемое расширение конечно порожденной группы $A$ с помощью группы $B$. 1) Если в группах $A$ и $B$ все подгруппы (все циклические подгруппы) финитно отделимы, то и в группе $G$ все подгруппы (все циклические подгруппы) финитно отделимы; 2) если в группе $A$ все подгруппы финитно отделимы, а в группе $B$ все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы, то в группе $G$ все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы. Напомним, что группа $G$ называется расщепляемым расширением группы $A$ с помощью группы $B$, если группа $A$ является нормальной подгруппой группы $G$, $B$ — подгруппа группы $G$, $G=AB$ и $A\cap B=1$. Напомним также, что подгруппа $H$ группы $G$ называется финитно отделимой, если для каждого элемента $g$ группы $G$, не принадлежащего подгруппе $H$, существует гомоморфизм группы $G$ на некоторую конечную группу, при котором образ элемента $g$ не принадлежит образу подгруппы $H$. В данной работе получено обобщение теоремы Аленби и Грегораса за счет замены условия конечной порожденности группы $A$ более общим: для любого натурального числа $n$ число всех подгрупп группы $A$ индекса $n$ конечно. В действительности при этом условии удалось получить необходимое и достаточное условие финитной отделимости всех подгрупп (всех циклических подгрупп, всех конечно порожденных подгрупп) в группе $G$.