Оценка числа решетчатых разбиений плоскости на центрально-симметричные полимино заданной площади

В работе рассматривается задача о числе решетчатых разбиений плоскости на центрально-симметричные полимино заданной площади. Полимино представляет собой связную фигуру на плоскости, составленную из конечного числа единичных квадратов, примыкающих друг к другу по сторонам. В настоящее время активно исследуются различные перечислительные комбинаторные задачи, связанные с полимино. Представляет интерес подсчет числа полимино определенных классов, а также подсчет числа разбиений конечных фигур или плоскости на полимино определенного типа. В частности, разбиение называется решетчатым, если любую фигуру разбиения можно перевести в любую другую фигуру параллельным переносом, переводящим все разбиение в себя. Ранее нами было доказано, что если $T(n)$ — число решетчатых разбиений плоскости на полимино площади $n$, то справедливы неравенства $2^{n-3}+2^{[\frac{n-3}{2}]}\leq T(n)\leq C(n+1)^3 (2,7)^{n+1}$. В настоящей работе мы получаем аналогичную оценку для числа решетчатых разбиений, дополнительно обладающих центральной симметрией. Пусть $T_c(n)$ — число решетчатых разбиений плоскости на центрально-симметричные полимино площади $n$, решетка периодов которых является подрешеткой решетки $\mathbb{Z}^2$. В работе доказано, что $C_1(\sqrt 2)^n\leq T_c(n)\leq C_2n^2(\sqrt{2.68})^n$. При доказательстве нижней оценки использована явная конструкция, позволяющая построить требуемое число решетчатых разбиений плоскости. Доказательство верхней оценки основано на критерии существования решетчатого разбиения плоскости на полимино, а также на теории самонепересекающихся блужданий на квадратной решетке.