Аппроксимационные свойства нильпотентных групп

Пусть $\pi $ — множество простых чисел. Напомним, что группа $G$ называется аппроксимируемой конечными $\pi $-группами, если для любого неединичного элемента $a$ группы $G$ существует гомоморфизм группы $G$ на некоторую конечную $\pi $-группу, при котором образ элемента $a$ отличен от 1. Группа $G$ называется почти аппроксимируемой конечными $\pi $-группами, если она содержит подгруппу конечного индекса, аппроксимируемую конечными $\pi $-группами. Напомним, что элемент $g$ группы $G$ называется $\pi $-полным, если из него в группе $G$ можно извлечь корень $m$-й степени для любого целого положительного $\pi $-числа $m$. Пусть $N$ — нильпотентная группа, и все степенные подгруппы группы $N$ финитно отделимы. Доказано, что группа $N$ аппроксимируема конечными $\pi $-группами тогда и только тогда, когда в ней нет $\pi $-полных элементов отличных от 1. Пусть теперь множество $\pi $ не совпадает с множеством $\Pi $ всех простых чисел, и $\pi '$ — дополнение множества $\pi $ в множестве $\Pi $. И пусть $T$ — $\pi '$-компонента группы $N$, т. е. множество всех элементов группы $N$, порядки которых конечны и являются $\pi '$-числами. Доказано, что следующие три условия равносильны между собой: (1) группа $N$ почти аппроксимируема конечными $\pi $-группами; (2) подгруппа $T$ конечна, и фактор-группа $N/T$ аппроксимируема конечными $\pi $-группами; (3) подгруппа $T$ конечна и совпадает с множеством всех $\pi $-полных элементов группы $N$.