Об аппроксимируемости корневыми классами HNN-расширений групп

Пусть $\mathcal{K}$ — произвольный корневой класс групп (это означает, что $\mathcal{K}$ содержит хотя бы одну неединичную группу, замкнут относительно взятия подгрупп и прямых произведений конечного числа сомножителей и удовлетворяет условию Грюнберга: если $1 \leqslant Z \leqslant Y \leqslant X$ — субнормальный ряд группы $X$ такой, что фактор-группы $X/Y$ и $Y/Z$ принадлежат классу $\mathcal{K}$, то в группе $X$ существует нормальная подгруппа $T$ такая, что $T \subseteq Z$ и фактор-группа $X/T$ принадлежит классу $\mathcal{K}$). В данной статье исследуются условия аппроксимируемости классом $\mathcal{K}$ ($\mathcal{K}$-аппроксимируемости) частного случая общей конструкции HNN-расширения, когда связанные подгруппы совпадают. Пусть $G = (B,\ t;\ t^{-1}Ht = H,\ \varphi)$. В случае, когда $B \in \mathcal{K}$ и подгруппа $H$ нормальна в группе $B$, автором получено достаточное условие $\mathcal{K}$-аппроксимируемости группы $G$, которое становится и необходимым, если класс $\mathcal{K}$ замкнут относительно факторизации (т. е. взятия гомоморфных образов). Также установлены критерии $\mathcal{K}$-аппроксимируемости группы $G$ при условии, что класс $\mathcal{K}$ замкнут относительно факторизации, группа $B$ $\mathcal{K}$-аппроксимируема, а подгруппа $H$ нормальна в группе $B$ и удовлетворяет хотя бы одному из следующих ограничений: группа $\operatorname{Aut}_G(H)$ всех автоморфизмов подгруппы $H$, представляющих собой ограничения на эту подгруппу всевозможных внутренних автоморфизмов группы $G$, является абелевой; группа $\operatorname{Aut}_G(H)$ конечна; автоморфизм $\varphi$ совпадает с ограничением на подгруппу $H$ некоторого внутреннего автоморфизма группы $B$; подгруппа $H$ конечна; подгруппа $H$ является бесконечной циклической; подгруппа $H$ имеет конечный ранг Гирша–Зайцева (т. е. обладает конечным субнормальным рядом, каждый фактор которого является либо периодической, либо бесконечной циклической группой). Кроме того, найдено достаточное условие $\mathcal{K}$-аппроксимируемости группы $G$ в случае, когда группа $B$ $\mathcal{K}$-аппроксимируема, а подгруппа $H$ является ее ретрактом (в этом утверждении класс $\mathcal{K}$ не обязан быть замкнутым относительно факторизации).