Совершенные призмоиды и решетчатые многогранники Делоне

Совершенным призмоидом называется выпуклый многогранник $P$ такой, что для каждой его $F$ существует опорная гиперплоскость $\alpha$, параллельная $F$, такая что любая вершина многогранника $P$ лежит либо в $F$, либо в $\alpha$. Совершенные призмоиды связаны с гипотезой Калаи о том, что у любого выпуклого центрально-симметричного многогранника не менее $3^d$ граней, а ровно $3^d$ граней содержат только многогранники Ханнера. Любой многогранник Ханнера является совершенным призмоидом (обратное не верно). Многогранник, который является выпуклой оболочкой некоторого подмоножества вершин единичного куба, называется $0/1$-многогранником. Мы докажем, что любой совершенный призмоид аффинно эквивалентен некоторому $0/1$-многограннику той же размерности. (Это означает, что любой совершенный призмоид является решетчатым многогранником). Пусть в пространстве $\mathbb{R}^d$ задана решетка $\Lambda$ и многогранник $D$, вписанный в шар $B$. Многогранник D называется решетчатым многогранником Делоне, если внутри шара нет точек решетки и $D$ является выпуклой оболочкой множества $\Lambda\cap\partial B$, где $\partial B$ — граница шара $B$. Мы докажем, что любой совершенный призмоид аффинно эквивалентен некоторому решетчатому многограннику Делоне.