О пространстве путей на полных пересечениях в грассманианах

В данной работе мы изучаем многообразие Фано прямых на полном пересечении грассманиана $G(n,2n)$ с гиперповерхностями степени $d_1,...,d_s$. Путем длины $l$ на таком многообразии мы называем связную кривую, состоящую из $l$ прямых. Главным результатом работы является факт, что при $2\sum_i (d_i+1)\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ пространство путей длины $n$, соединяющих любые две точки полного пересечения, связно и непусто. Для доказательства этого результата мы показываем, что на грассманиане $G(n,2n)$ пространство путей длины $n$, соединяющих две общие точки, изоморфно прямому произведению $F_n\times F_n$ двух полных пространств $n$-мерных флагов. Затем строим на $F_n\times F_n$ глобально порожденное векторное расслоение $\mathcal E$ с выделенным сечением $s$, таким что нули $s$ задают пространство путей длины $n$, соединяющих $x$ и $y$ и лежащих в пересечении гиперповерхностей степеней $d_1$,…, $d_k$. Используя явное представление расслоения $\mathcal E$ в виде прямой суммы линейных, мы показываем, что нули общего, а следовательно, и любого сечения $\mathcal E$ образуют непустое, связное подмногообразие в $F_n\times F_n$.
Помимо геометрического интереса, ценность доказанного результата состоит в том, что мы используем его в будущих работах для обобщения теорем о расщепимости расслоений конечного ранга на инд-многообразиях.