Счётная аддитивность распространения оператора дифференцирования

Статья продолжает работы по изучению свойств, обретаемых оператором дифференцирования $\Lambda$ при распространении за границы пространства $W_1^1$. Исследование проводится с помощью введения семейства пространств $Y_p^1$, $0<p<1$, имеющего аналогию с семейством $W_p^1$, $1\le p <\infty$. Пространства $ Y_p^1 $ снабжены квазинормами, построенными на основе квазинорм пространств $ L_p;\; \; \Lambda : Y_p^1 \mapsto L_p$. Дано достаточное условие того, чтобы функция, кусочно принадлежащая пространству $ Y_p^1$, принадлежала этому пространству (если $ f\in Y_p^1[x_{i-1};x_i]$, $i\in N$, $ 0 = x_0 < x_1 < \cdots < x_i < \cdots < 1$, то $f \in Y_p[0;1]$). Другими словами, признак, когда выполняется равенство: $ \Lambda (\bigcup f_i) = \bigcup \Lambda (f_i)$. Из классических характеристик функций ближе других к достаточному условию находится ограниченность вариации по Жордану. Как следствие, получается, что если функция $f$ кусочно принадлежит пространству $W_1^1$ и имеет ограниченную вариацию, то $f$ принадлежит каждому пространству $Y_p^1$, $0<p<1$.