Некоторые аппроксимационные свойства групп конечного ранга

Получено обобщение одной классической теоремы К. Сексенбаева о полициклических группах. Сексенбаев доказал, что если полициклическая группа $G$ аппроксимируема конечными $p$-группами для бесконечного множества простых чисел $p$, то она нильпотентна. Напомним, что группа $G$ называется аппроксимируемой конечными $p$-группами, если для любого неединичного элемента $a$ группы $G$ существует гомоморфизм группы $G$ на некоторую конечную $p$-группу, при котором образ элемента $a$ отличен от 1. Одним из обобщений понятия полициклической группы является понятие группы конечного ранга. Напомним, что группа $G$ называется группой конечного ранга, если существует целое положительное число $r$ такое, что любая конечно порожденная подгруппа группы $G$ порождается не более чем $r$ элементами. Доказано следующее обобщение теоремы Сексенбаева: если группа $G$ конечного ранга аппроксимируема конечными $p$-группами для бесконечного множества простых чисел $p$, то она нильпотентна. Более того, доказано, что если для каждого множества $\pi $, состоящего из почти всех простых чисел, группа $G$ конечного ранга аппроксимируема конечными нильпотентными $\pi $-группами, то она нильпотентна. Для нильпотентной группы конечного ранга получено необходимое и достаточное условие аппроксимируемости конечными $\pi $-группами, где $\pi$ — множество простых чисел.