Релаксационные циклы в обобщенной нейронной модели с двумя запаздываниями

Предложен способ моделирования феномена "bursting behavior" в нейронных системах, основанный на использовании уравнений с запаздыванием. Рассматривается сингулярно возмущенное скалярное нелинейное дифференциально-разностное уравнение вольтерровского типа, являющееся математической моделью отдельного импульсного нейрона и содержащее одну функцию без запаздывания и две функции с различными запаздываниями. Установлено, что у этого уравнения при подходящем выборе параметров существует устойчивое периодическое движение с любым наперед заданным количеством всплесков на отрезке времени длины периода. Для доказательства данного утверждения сначала выполняется переход к уравнению релейного типа, затем определяется асимптотика решения сингулярно возмущенного уравнения и на основе этой асимптотики строится оператор последования Пуанкаре. Полученный оператор переводит замкнутое, ограниченное выпуклое множество начальных условий в себя, что позволяет утверждать, что он имеет хотя бы одну неподвижную точку. Выполненная в работе оценка производной Фреше оператора последования позволяет доказать единственность и устойчивость полученного релаксационного периодического решения.