Семейства гладких рациональных кривых малой степени на многообразиях Фано степени 5 основной серии

В настоящей статье изучаются семейства гладких рациональных кривых степени 2, 3 и 4 на гладком трехмерном многообразии Фано $X$, являющемся линейным сечением грассманиана $G(1,4)$ прямых пространства $\mathbb{P}^4$, вложенного в пространство $\mathbb{P}^9$ по Плюкеру. Мы доказываем, что эти семейства являются неприводимыми многообразиями. Доказательство неприводимости семейств рациональных кривых степени $d$ основано на исследовании вырождения рациональной кривой степени $d$ в кривую, распадающуюся на неприводимую рациональную кривую степени $d-1$ и прямую, пересекающиеся трансверсально в одной точке. Доказывается, что схема Гильберта кривых степени $d$ на $X$ неособа в точке, соответствующей такой приводимой кривой. Затем вычисления в рамках теории деформации показывают, что такая кривая варьируется в гладкую рациональную кривую степени $d$. Тем самым, множество приводимых кривых степени $d$ вышеуказанного типа лежит в замыкании единственной компоненты схемы Гильберта гладких рациональных кривых степени $d$ на $X$. Из этого факта и неприводимости схемы Гильберта гладких рациональных кривых степени $d$ на грассманиане $G(1,4)$ выводится неприводимость схемы Гильберта гладких рациональных кривых степени $d$ на общем многообразии Фано $X$.