О числе запретов, задающих периодическую последовательность

Рассматриваются последовательности $W$ периода $u$ над алфавитом из $l$ букв. Требуется однозначно определить последовательность $W$, указывая слова, не являющиеся ее подсловами. Для $n\in\mathbb N$ обозначим за $U_n$ множество слов $u$ длины $n$, не являющихся степенями (т.е. не представимых в виде $u=v^k$, $k>1$). Пусть $T(u^{\infty})$ — минимальное число запретов, задающих последовательность $u^{\infty}$. Обозначим
$$ m_n=\max_{u \in U_n} T(u^{\infty}),\quad r_n=\min_{u \in U_n} T(u^{\infty}). $$
Доказаны следующие теоремы:
Теорема 1. $m_n\le n(l-1)$.
Отметим, что оценка точна при бесконечно многих $n$ и реализуется, например, для периода, содержащего все слова некоторой фиксированной длины $t$ (т.е. $n=l^t$).
Теорема 2. $r_n\ge\log_2 n+1$.
Теорема 3. Существует возрастающая последовательность $n_i$, такая, что
$$ r_{n_i}\le\log_{\phi}n_i, \quad\text{где}\quad \phi=\frac{1+\sqrt5}2. $$