О методе локально гомеоморфного продолжения в теории достаточных условий однолистности

Методом продолжения обоснованы достаточные условия однолистности для конформных отображений конечно-связных и счетно-связных областей в предположении, что известны локальные свойства отображения в замкнутой области и некоторые свойства граничных значений. Доказаны также достаточные признаки однолистности в виде некоторых неравенств для функций, заданных внутри или вне эллипса, в полуплоскости. Приведем два характерных утверждения.
Теорема 2. Пусть $D_m$ – $m$-связная область, ограниченная жордановыми кривыми $l_1,\dots,l_m$, и пусть функция $f(z)$ мероморфна в $D_m$, непрерывна в $\overline{D}_m$ за исключением полюсов, лежащих в $D_m$. Если $f(z)$ локально однолистна в $\overline{D}_m$, и для каждого $j=1,2,\dots,m$ отображение $f\colon l_j\to f(l_j)$ гомеоморфно, то $f(z)$ однолистна в $\overline{D}_m$, в частности, $f(z)$ имеет в $D_m$ разве лишь один простой полюс.
Предложение 3. Регулярная в полосе $H=\{\zeta\colon\operatorname{lm}\zeta>o\}$ функция $f(\zeta)$ будет однолистной в $H$, если для любого $\zeta\in H$ имеем: $m\leqslant|f'(\zeta)|\leqslant M$, причем $M/m\leqslant\exp(\pi/2)$.
Библ. 15.