On the construction of solutions to a problem with a free boundary for the non-linear heat equation

В статье обсуждается построение решений задачи со свободной границей для нелинейного уравнения теплопроводности, которые имеют тип тепловой волны. Особенностью таких решений является то, что уравнение имеет вырождение на фронте тепловой волны, который разделяет область положительных значений искомой функции и холодный (нулевой) фон. Предложен численный алгоритм решения указанной проблемы на основе метода граничных элементов. Поскольку доказать сходимость алгоритма не удается из-за нелинейности задач и наличия вырождения, в качестве метода верификации расчетов выбрано сравнение с точными решениями, построение которых сводится к интегрированию задачи Коши для ОДУ. Проведено качественное исследование последних. Выполнены иллюстрирующие расчеты, на основании которых с использованием результатов качественного анализа сделаны содержательные выводы.