Centralizers of finite $p$-subgroups in simple locally finite groups

Нас интересуют следующие вопросы Б.Хартли: (1) Правда ли, что в бесконечной простой локально конечной группе, если централизатор конечной подгруппы линейный, то $ G $ является линейной? (2) Для конечной подгруппы $ F $ нелинейной простой локально конечной группы порядок $ | CG (F) | $ бесконечен?
Доказывается следующее: пусть $ G $ — нелинейная простая локально конечная группа, имеющая последовательность Кегеля $\mathcal{K}= \{(G_ {i}, 1): \; I\in \mathbf {N}\}$, состоящую из конечных простых подгрупп. Пусть $ p $ — фиксированное простое число, $ s \in \mathbf {N} $. Тогда для любой конечной $ p $-подгруппы $ F $ группы $ G $ централизатор $ C_ {G} (F) $ содержит подгруппы, изоморфные гомоморфному образу $ SL (s, \mathbf {F} _q) $. В частности, $ C_G (F) $ является нелинейной группой. Мы также показываем, что если $ F $ — конечная $ p$-подгруппа бесконечной локально конечной простой группы $ G $ задачи классического типа и заданных $ s \in \mathbf {N} $, и ранг $ G $ достаточно большой относительно $ | F | $ и $ s $, то $ C_G (F) $ содержит подгруппы, изоморфные гомоморфным образам $ SL (s, K) $.